5.1. 总体与样本

5.2. 常用统计量

定义

  • 样本均值: $\overline{X}=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i$

  • 修正后的样本方差: $\begin{aligned}S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\end{aligned}$

样本均值和样本方差的性质

  • 定理: 设总体$X$的均值为$EX=\mu$,方差为$DX=\sigma^2$,样本{$X_1,X_2,\ldots ,X_n$} 来自总体$X$ ,则:
    • $E\overline{X}=\mu$
    • $\displaystyle D\overline{X} = \frac{1}{n}\sigma^2$
    • $ES^2=\sigma^2$
  • 前两者证明略. $ES^2=\sigma^2$ 的证明:

    有:

5.3. 抽样分布

5.3.1. 三种重要分布

1. 卡方分布($\chi^2$分布)

  • 定理: 设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 相互独立,且服从标准正态分布,则他们的平方和 $\chi^{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\ldots+X_{n}^{2}$ 服从的分布称为自由度为 $n$ 的卡方分布.记作: $X \sim \chi^2(n)$.
    其中自由度表示独立的随机变量的个数.

  • 密度函数:

  • 结论:若$X \sim \chi^2(n)$ 则:$EX = n, DX = 2n$

  • 定理:若$X \sim \chi^2(m)$,$Y \sim \chi^2(n)$,则$X+Y \sim \chi^2{(m+n)}$

    • 推论:

      1. 若 $X_{i} \sim \chi^{2}\left(n_{i}\right), \quad i=1,2, \ldots, n,$ 且相互独立, 则

      2. 若 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 相互独立,同服从于正态分布 $N\left(\mu_{i}, \sigma_{i}^{2}\right),$ 则

2.$t$ 分布

  • 定理:$X \sim N(0,1), Y \sim \chi^{2}(n), X,Y,$ 独立,则 称随机变量

服从的分布为自由的为 $n$ 的 $t-$ 分布.当自由度很大时,$t$ 分布无限趋近于标准正态分布.

  • 性质:因为该分布是对称的, $t_{1-\alpha}(n)=-t_{\alpha}(n)$

3. $F$ 分布

  • 定理:若 $X \sim \chi^{2}\left(n_{1}\right), Y \sim \chi^{2}\left(n_{2}\right), X, Y$ 独立,
    则 随机变量 $\quad F=\frac{X} / n_{1}{\mathbf{Y} / n}_{2} \quad$ 所服从的分布为自由度是$(n_1,n_2)$ 的 $F$ 分布,$n_1,n_2$ 分别为第一自由度,第二自由度.

5.3.2. 正态总体下的抽样分布

  • 总体是正态分布, 抽样本, 构造统计量的分布.

  • 定理: $X\sim N(\mu , \sigma^2)$ ,$\{X_1\ldots X_n\}$ 为样本,则
    (1) $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$
    (2) $\displaystyle \frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} \sim \chi ^{2}(n-1)$ 证明较复杂,略
    (3) $\overline{X}$ 与 $S^2$ 独立

  • 定理: (前提与上面的相同)
    (1) $\displaystyle \sum^{n}_{i=1}(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2= \frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2} \sim \chi ^{2}(n)$ 上面的自由度为 $n-1$ 下面的为 $n$ ,可借助”多一个方程,自由未知量少一个来理解”
    (2) $\displaystyle\frac{\bar{X}-\mu}{S} \sqrt{n} \sim t(n-1)$

    证明:

    • 定理: 两个正态总体 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2),X$ 取了$n_1$ 个,$Y$ 取了 $n_2$ 个,$\bar{X},\bar{Y},S_1^2,S_2^2$,则

      1. $\displaystyle\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(\mu_{1}-\mu_{2}, \frac{\sigma^2_{1}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}}\right)$
      2. $\displaystyle\frac{S_{1}^{2} / \sigma_{1}^{2}}{S_{2}^{2} / \sigma_{2}^{2}} \sim F\left(n_{1}-1 , n_{2}-1\right)$